Volume du cône par intégration

Calcul du volume d’un cône de révolution par intégration

Le volume d’un cône de révolution est une notion fondamentale en géométrie et en calcul intégral. Ce calcul est particulièrement intéressant pour les étudiants et les professionnels en mathématiques, ingénierie et sciences appliquées. Pour déterminer ce volume, nous utilisons les méthodes du calcul intégral. Cet article explore en détail le calcul du volume d’un cône de révolution à l’aide des intégrales.

Définition et caractéristiques du cône de révolution

Un cône de révolution est une figure géométrique tridimensionnelle formée par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés, appelé l’axe de révolution. Ce cône possède une base circulaire et un sommet situé à une certaine hauteur de la base. Il est caractérisé par :

• Le rayon de la base ($r$) : c’est la distance du centre de la base au bord de celle-ci.
• La hauteur ($h$) : c’est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet du cône.
• L’axe de révolution : le côté du triangle autour duquel la figure tourne.

Formule classique du volume d’un cône

La formule standard pour le volume d’un cône de révolution est donnée par :

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

où $r$ est le rayon de la base et $h$ est la hauteur. Cette formule peut être obtenue par plusieurs méthodes, dont l’intégration.

Calcul du volume par intégration

Pour calculer le volume du cône par intégration, nous allons utiliser la méthode des disques ou des rondelles. Cette méthode repose sur l’idée que le volume du cône peut être approximé en sommant les volumes de nombreux disques infinitésimaux (ou rondelles) qui se superposent du bas vers le haut du cône.

Définition de la fonction de la coupe transversale

Pour utiliser la méthode des disques, il est nécessaire de déterminer la fonction qui décrit la section transversale du cône. Considérons un cône de révolution avec son sommet à l’origine du système de coordonnées cartésiennes et sa base parallèle au plan $z = h$.

La section transversale à une hauteur $z$ du sommet est un cercle dont le rayon $r(z)$ dépend de $z$. Le rayon $r(z)$ est proportionnel à la hauteur $z$, et nous pouvons exprimer ce rayon comme :

$r(z) = \frac{r}{h} z$

où $r$ est le rayon de la base du cône et $h$ est la hauteur du cône.

Volume par intégration

Pour déterminer le volume total du cône, nous devons intégrer le volume de chaque disque infinitésimal de rayon $r(z)$ et d’épaisseur infinitésimale $dz$. Le volume d’un disque infinitésimal est donné par :

$dV = \pi [r(z)]^2 dz$

Substituons $r(z) = \frac{r}{h} z$ dans cette équation :

$dV = \pi \left(\frac{r}{h} z\right)^2 dz$
$dV = \pi \frac{r^2}{h^2} z^2 dz$

L’intégrale de $dV$ sur l’intervalle de $z$ allant de 0 à $h$ donnera le volume total du cône :

$V = \int_{0}^{h} \pi \frac{r^2}{h^2} z^2 \, dz$

Calculons cette intégrale :

1. Intégration de $z^2$ :

$\int_{0}^{h} z^2 \, dz = \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{h} = \frac{h^3}{3}$

2. Multiplication par les constantes :

$V = \pi \frac{r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3}$
$V = \pi \frac{r^2 h}{3}$

En simplifiant, nous retrouvons la formule classique du volume du cône :

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Conclusion

Le calcul du volume d’un cône de révolution par intégration fournit une approche rigoureuse qui confirme la formule classique du volume du cône. En utilisant la méthode des disques ou des rondelles, nous intégrons le volume des tranches infinitésimales du cône pour obtenir le volume total. Cette méthode est non seulement utile pour les étudiants en mathématiques mais aussi pour les ingénieurs et les scientifiques qui appliquent les principes du calcul intégral dans leurs travaux pratiques.

Ce processus d’intégration démontre la puissance des outils du calcul différentiel et intégral dans la résolution de problèmes géométriques et physiques complexes. En comprenant et en appliquant ces principes, nous pouvons mieux appréhender la manière dont les volumes de formes tridimensionnelles peuvent être calculés avec précision.