Unification des Dénominateurs : Exercices

Les Exercices sur le Calcul des Fractions : Unité des Dénominateurs

Introduction

En mathématiques, les fractions sont des outils essentiels pour exprimer les parties d’un tout. L’une des compétences fondamentales dans le travail avec les fractions est la capacité à unifier les dénominateurs, une étape cruciale pour effectuer des opérations telles que l’addition et la soustraction. Cet article explore les principes de la unification des dénominateurs, propose une série d’exercices pratiques, et offre des solutions détaillées pour aider les étudiants à maîtriser cette compétence.

Comprendre la Unification des Dénominateurs

Avant de plonger dans les exercices, il est essentiel de comprendre ce qu’implique l’unification des dénominateurs. Lorsque l’on travaille avec des fractions, chaque fraction est composée d’un numérateur et d’un dénominateur. Pour pouvoir additionner ou soustraire des fractions, les dénominateurs doivent être les mêmes. Cette opération est connue sous le nom de « unification des dénominateurs ».

Qu’est-ce que l’unification des dénominateurs ?

L’unification des dénominateurs consiste à transformer plusieurs fractions ayant des dénominateurs différents en fractions équivalentes ayant le même dénominateur. Cela permet d’effectuer des opérations telles que l’addition et la soustraction de manière plus simple.

Les Étapes de la Unification des Dénominateurs

Pour unifier les dénominateurs de plusieurs fractions, suivez ces étapes :

1. Trouver le plus petit dénominateur commun (PDC) : Le plus petit dénominateur commun est le plus petit multiple commun de tous les dénominateurs des fractions.
2. Convertir chaque fraction : Ajustez chaque fraction pour qu’elle ait ce dénominateur commun. Cela implique de multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur approprié.
3. Effectuer l’opération : Une fois que toutes les fractions ont le même dénominateur, vous pouvez procéder à l’addition ou à la soustraction des fractions.

Exercices Pratiques

Exercice 1 : Trouver le Plus Petit Dénominateur Commun

1. Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions suivantes :
   $$\frac{1}{4} \text{ et } \frac{1}{6}$$

Solution :

Les dénominateurs sont 4 et 6. Le plus petit multiple commun de ces deux nombres est 12. Donc, le plus petit dénominateur commun est 12.

2. Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions suivantes :
   $$\frac{2}{5} \text{ et } \frac{3}{10}$$

Solution :

Les dénominateurs sont 5 et 10. Le plus petit multiple commun de ces deux nombres est 10. Donc, le plus petit dénominateur commun est 10.

Exercice 2 : Conversion des Fractions

Convertissez les fractions suivantes en fractions ayant le même dénominateur :

1. Convertissez $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{10}$ en fractions ayant un dénominateur commun de 10.

Solution :

Pour convertir $\frac{2}{5}$ avec un dénominateur de 10, multipliez le numérateur et le dénominateur par 2 :

$$\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$$

Ainsi, les fractions $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{10}$ ont maintenant un dénominateur commun de 10.

2. Convertissez $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{6}$ en fractions ayant un dénominateur commun de 12.

Solution :

Pour convertir $\frac{1}{4}$ avec un dénominateur de 12, multipliez le numérateur et le dénominateur par 3 :

$$\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$$

Pour $\frac{1}{6}$, multipliez le numérateur et le dénominateur par 2 :

$$\frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$$

Ainsi, les fractions $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{6}$ ont maintenant un dénominateur commun de 12.

Exercice 3 : Addition et Soustraction de Fractions

1. Effectuez l’addition suivante :
   $$\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$$

Solution :

Convertissez $\frac{2}{5}$ en fraction avec un dénominateur de 10 :

$$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$$

Ajoutez les fractions avec le même dénominateur :

$$\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$$

2. Effectuez la soustraction suivante :
   $$\frac{3}{4} – \frac{1}{6}$$

Solution :

Le plus petit dénominateur commun entre 4 et 6 est 12. Convertissez les fractions :

Pour $\frac{3}{4}$ :

$$\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$

Pour $\frac{1}{6}$ :

$$\frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$$

Soustrayez les fractions avec le même dénominateur :

$$\frac{9}{12} – \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$$

Conclusion

L’unification des dénominateurs est une compétence cruciale pour manipuler les fractions en mathématiques. En comprenant comment trouver le plus petit dénominateur commun et comment ajuster les fractions en conséquence, les étudiants peuvent effectuer des opérations telles que l’addition et la soustraction avec facilité. Les exercices présentés offrent une pratique précieuse pour maîtriser cette compétence et appliquer les concepts de manière pratique. Pour approfondir votre compréhension, il est recommandé de pratiquer davantage avec des fractions variées et des opérations plus complexes.