Théorème de Pythagore

La célèbre théorème de Pythagore est un résultat fondamental en géométrie qui établit une relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Il affirme que dans un tel triangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Pour prouver cette affirmation, on peut utiliser différentes méthodes. Une des démonstrations les plus courantes consiste à considérer un carré construit sur chaque côté du triangle, et à montrer que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des deux autres carrés.

Soit ABC un triangle rectangle en A, de côtés [AB], [AC] et [BC]. Soit H le pied de la hauteur issue de A, et soit O le milieu de [BC]. Les points O, A, H sont alignés dans cet ordre.

On a alors :

• La droite (AH) est une médiane du triangle ABC passant par le sommet A ;
• La droite (OA) est une médiane du triangle ABC passant par le sommet O.

En considérant les triangles AO et ACB, qui ont :

• un angle en A de mesure 90° ;
• un angle en O de mesure 90° ;
• un angle en C de même mesure.

Ces triangles sont donc semblables.

On peut donc écrire :

$\frac{AB}{AC} = \frac{AO}{AB}$

$AB^2 = AC \cdot AO$

En considérant maintenant les triangles AHO et ABC, on peut montrer qu’ils sont semblables. En effet, ils ont :

• un angle en A de mesure 90° ;
• un angle en O de mesure 90° ;
• un angle en H de même mesure.

Donc :

$\frac{AH}{AC} = \frac{AO}{AB}$

$AH = \frac{AC \cdot AO}{AB}$

$AH = \frac{AB^2}{AB}$

$AH = AB$

Ainsi, on a démontré que AH = AB. Cette égalité signifie que le triangle AHO est équilatéral. Par conséquent, les points H, O et A sont alignés. Cela conclut la démonstration.

La démonstration du théorème de Pythagore peut également être réalisée à l’aide de différentes approches géométriques ou algébriques. Une approche géométrique consiste à utiliser la similitude des triangles pour établir la relation entre les aires des carrés construits sur les côtés du triangle rectangle. Une approche algébrique utilise les coordonnées des points du triangle dans un repère cartésien pour démontrer le théorème.

Une autre approche géométrique utilise la notion de rotation. En considérant le triangle ABC, on peut effectuer une rotation de 90 degrés autour du point A, ce qui amène le côté AB sur le côté AC. On obtient alors un triangle ACD, rectangle en D, où D est le point de la droite (AC) tel que AD = AB. Les triangles ABC et ACD sont donc isométriques, et on peut en déduire que AC = BC.

En outre, le théorème de Pythagore a de nombreuses applications en géométrie et en trigonométrie, notamment pour calculer des distances, des angles ou des longueurs dans divers contextes. Il est également utilisé dans des domaines tels que la physique pour résoudre des problèmes liés à la mécanique, à l’optique ou à d’autres phénomènes.

En résumé, le théorème de Pythagore est un résultat fondamental en mathématiques, largement utilisé pour résoudre des problèmes géométriques et algébriques, et il a des applications pratiques dans de nombreux domaines scientifiques.