Résolution équations quadratiques: méthode complétion

Pour résoudre une équation quadratique en complétant le carré, on utilise la méthode du complément du carré. Cette méthode est particulièrement utile pour résoudre des équations de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des constantes et $x$ est la variable.

Voici les étapes à suivre pour résoudre une équation quadratique par complétion du carré :

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1. Mettre l’équation sous forme canonique : Divisez chaque terme de l’équation par le coefficient $a$ afin d’obtenir une équation de la forme $x^2 + px + q = 0$, où $p$ et $q$ sont des constantes.

2. Compléter le carré : Pour compléter le carré, ajoutez $(p/2)^2$ à chaque côté de l’équation. Cela revient à ajouter $(p/2)^2$ à $q$ dans l’équation $x^2 + px + q = 0$.

3. Factoriser : Réécrivez l’équation sous forme factorisée en utilisant le carré d’un binôme. Cela donne $(x + p/2)^2 = (p/2)^2 – q$.

4. Isoler $x$ : Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour isoler $x$. N’oubliez pas d’inclure le signe $\pm$ pour prendre en compte les deux solutions possibles.

5. Simplifier : Simplifiez l’expression pour $x$ en fonction de $p$ et $q$ pour obtenir les solutions de l’équation quadratique.

6. Vérification : Vérifiez vos solutions en les substituant dans l’équation initiale pour vous assurer qu’elles sont correctes.

Cette méthode peut sembler complexe au premier abord, mais avec de la pratique, elle deviendra plus intuitive. Elle est particulièrement utile lorsque les autres méthodes de résolution des équations quadratiques ne sont pas pratiques, comme lorsque les coefficients de l’équation sont des fractions ou lorsque les solutions ne sont pas des nombres entiers simples.

La méthode de complétion du carré est basée sur le concept de la factorisation du carré d’un binôme. L’idée principale est de transformer l’équation quadratique en une forme qui peut être facilement résolue en trouvant la racine carrée des deux côtés de l’équation.

Voici une explication plus détaillée de chaque étape de la méthode :

1. Mise sous forme canonique : Pour une équation quadratique de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, divisez chaque terme par $a$ pour obtenir $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Cela simplifie les calculs ultérieurs.

2. Complétion du carré : Pour compléter le carré, ajoutez $(\frac{b}{2a})^2$ de chaque côté de l’équation. Cela transforme l’équation en $x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{c}{a}$.

3. Factorisation : La partie gauche de l’équation peut être factorisée en $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{c}{a}$.

4. Isolation de $x$ : Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour obtenir $x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{c}{a}}$.

5. Simplification : Simplifiez l’expression pour $x$ en fonction de $a$, $b$, et $c$ pour obtenir les solutions. Cela donne $x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{c}{a}}$.

6. Vérification : Vérifiez vos solutions en les substituant dans l’équation initiale pour vous assurer qu’elles sont correctes.

Il est important de noter que la méthode de complétion du carré est souvent utilisée pour des fins pédagogiques ou dans des contextes mathématiques spécifiques, mais elle peut être moins pratique que d’autres méthodes comme la factorisation ou l’utilisation de la formule quadratique dans des situations réelles.