Résolution des équations cubiques

La résolution d’une équation du troisième degré, aussi appelée équation cubique, peut être complexe. Une équation cubique générale s’écrit sous la forme :

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

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Pour résoudre une telle équation, plusieurs méthodes existent, notamment la méthode de Cardan, qui est la plus connue mais qui peut être assez complexe. Voici les étapes générales pour résoudre une équation cubique :

1. Réduction à une forme canonique : Si nécessaire, effectuez un changement de variable pour réduire l’équation à une forme canonique, où le terme en $x^2$ est absent.

2. Forme générale : L’équation cubique prend alors la forme $x^3 + px + q = 0$.

3. Substitution : Faites la substitution $x = u + v$, où $u$ et $v$ sont deux nouvelles variables à déterminer.

4. Expansion : Remplacez $x$ par $u + v$ dans l’équation, puis développez l’expression.

5. Identification des coefficients : Identifiez les coefficients de $u$ et $v$ dans l’expression développée.

6. Système d’équations : Formez un système d’équations en égalant les coefficients de même puissance de $u$ et $v$ dans l’expression développée à ceux de l’équation cubique d’origine.

7. Résolution du système : Résolvez le système d’équations pour trouver les valeurs de $u$ et $v$.

8. Substitution inverse : Utilisez les valeurs de $u$ et $v$ pour trouver les valeurs de $x$.

Il est important de noter que la méthode de Cardan peut donner des résultats complexes, même pour des équations qui semblent simples. Dans certains cas, il peut être préférable d’utiliser des méthodes numériques pour obtenir des solutions précises.

La méthode de Cardan est une méthode algébrique pour résoudre les équations cubiques. Elle repose sur une substitution astucieuse permettant de transformer l’équation cubique initiale en une équation plus simple à résoudre.

Voici les étapes détaillées de la méthode de Cardan pour résoudre une équation cubique de la forme $x^3 + px + q = 0$ :

1. Substitution $x = u + v$ : On pose $x = u + v$, où $u$ et $v$ sont deux nouvelles variables à déterminer.

2. Développement de l’équation : En substituant $x$ par $u + v$, l’équation cubique devient $(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$, qu’on développe pour obtenir $u^3 + v^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0$.

3. Identification des coefficients : On identifie les coefficients de $u^3$, $v^3$, $uv$, $u$ et $v$ dans l’équation développée.

4. Simplification : En simplifiant l’équation obtenue, on trouve que $u^3 + v^3 = -p$ et $3uv = -q$.

5. Forme canonique : On peut exprimer $u^3$ et $v^3$ en fonction de $p$ et $q$, par exemple $u^3 = \frac{-p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + \left(\frac{q}{3}\right)^3}$ et $v^3 = \frac{-p}{2} – \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + \left(\frac{q}{3}\right)^3}$.

6. Solutions pour $u$ et $v$ : Une fois $u^3$ et $v^3$ trouvés, on peut obtenir $u$ et $v$, ce qui permet de déterminer les valeurs de $x = u + v$.

Il est à noter que la méthode de Cardan peut conduire à des solutions complexes, même pour des équations avec des coefficients réels. Dans certains cas, il peut être plus approprié d’utiliser des méthodes numériques pour obtenir des solutions approchées.