Résolution des Équations à Deux Inconnues

Méthodes pour résoudre les équations à deux inconnues

Les équations à deux inconnues sont des systèmes d’équations linéaires comportant deux variables que l’on cherche à déterminer. Ces systèmes peuvent être résolus par plusieurs méthodes, chacune ayant ses propres caractéristiques et avantages selon la situation. Voici un exposé détaillé des méthodes les plus courantes pour résoudre ces systèmes.

1. Méthode de substitution

La méthode de substitution consiste à isoler une variable dans l’une des équations, puis à substituer cette expression dans l’autre équation. Voici les étapes détaillées :

1. Isoler une variable : Choisissez une des deux équations et isolez une des variables. Par exemple, si l’on a le système :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

   On peut isoler $x$ dans la seconde équation : $x = y + 2$.

2. Substituer dans l’autre équation : Remplacez $x$ dans la première équation par $y + 2$ :

   $$2(y + 2) + 3y = 7$$

   Résoudre cette équation pour $y$ :

   $$2y + 4 + 3y = 7 \implies 5y + 4 = 7 \implies 5y = 3 \implies y = \frac{3}{5}$$

3. Trouver l’autre variable : Substituez $y = \frac{3}{5}$ dans l’expression de $x$ :

   $$x = \frac{3}{5} + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5}$$

Ainsi, la solution du système est $x = \frac{13}{5}$ et $y = \frac{3}{5}$.

2. Méthode d’élimination (ou méthode de combinaison)

La méthode d’élimination, également connue sous le nom de méthode de combinaison, utilise l’addition ou la soustraction des équations pour éliminer l’une des variables. Voici comment procéder :

1. Aligner les équations : Assurez-vous que les équations sont correctement alignées :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

2. Rendre les coefficients égaux : Multipliez les équations si nécessaire pour que les coefficients d’une des variables soient opposés. Par exemple, pour éliminer $x$, multipliez la seconde équation par 2 :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 2x – 2y = 4 \end{cases}$$

3. Soustraire ou additionner les équations : Soustrayez la seconde équation de la première pour éliminer $x$ :

   $$(2x + 3y) – (2x – 2y) = 7 – 4 \implies 5y = 3 \implies y = \frac{3}{5}$$

4. Trouver l’autre variable : Remplacez $y = \frac{3}{5}$ dans l’une des équations originales pour trouver $x$. Utilisez par exemple la seconde équation :

   $$x – \frac{3}{5} = 2 \implies x = 2 + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$$

La solution est donc $x = \frac{13}{5}$ et $y = \frac{3}{5}$.

3. Méthode graphique

La méthode graphique consiste à tracer les équations sur un graphique pour déterminer visuellement le point d’intersection des deux droites, qui représente la solution du système. Les étapes sont les suivantes :

1. Convertir les équations en forme de pente-intersection : Si l’on considère le système :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

   On les réécrit sous la forme $y = mx + b$ :

   • Pour $2x + 3y = 7$ : $3y = -2x + 7$ donc $y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}$
   • Pour $x – y = 2$ : $y = x – 2$

2. Tracer les droites : Dessinez les droites sur un graphique en utilisant les intercepts et les pentes.

3. Trouver le point d’intersection : Le point où les deux droites se croisent est la solution du système. Pour le système ci-dessus, le point d’intersection est $\left(\frac{13}{5}, \frac{3}{5}\right)$.

4. Méthode matricielle

La méthode matricielle utilise les propriétés des matrices pour résoudre des systèmes d’équations. Pour un système de deux équations linéaires, on procède comme suit :

1. Formuler le système en termes de matrices : Écrire le système sous forme matricielle :

   $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

   où $A$ est la matrice des coefficients, $\mathbf{x}$ est le vecteur des variables, et $\mathbf{b}$ est le vecteur des constantes.

   Pour le système :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

   on écrit :

   $$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix}$$

2. Calculer l’inverse de la matrice des coefficients : Si la matrice des coefficients est inversible, trouvez son inverse $A^{-1}$.

3. Multiplier par l’inverse : Multipliez les deux côtés de l’équation par l’inverse de la matrice des coefficients :

   $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$

   Pour le système ci-dessus, calculons l’inverse de $A$ et multiplions par $\mathbf{b}$ pour obtenir la solution.

Conclusion

Chaque méthode pour résoudre un système d’équations à deux inconnues offre des avantages spécifiques en fonction du contexte et de la complexité des équations. La méthode de substitution est souvent la plus directe pour les systèmes simples, tandis que la méthode d’élimination est efficace pour manipuler les coefficients. La méthode graphique est particulièrement utile pour une compréhension visuelle, et la méthode matricielle est essentielle pour des systèmes plus complexes ou lorsqu’on travaille avec des logiciels de calcul formel.

En maîtrisant ces méthodes, vous serez en mesure de résoudre efficacement des systèmes d’équations linéaires à deux inconnues, en fonction des outils et des informations disponibles.