Résolution d’équations linéaires.

Les équations linéaires à deux inconnues sont des équations de la forme ax + by = c, où a, b et c sont des nombres donnés, et x et y sont les inconnues que nous devons trouver. Voici quelques exemples de résolution d’équations linéaires à deux inconnues :

1. Exemple 1 : Résoudre le système d’équations suivant :

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   $$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x – y = 5 \end{cases}$$

   Pour résoudre ce système, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d’élimination. En utilisant la méthode d’élimination, nous pouvons multiplier la deuxième équation par 3 pour éliminer y :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 12x – 3y = 15 \end{cases}$$

   En additionnant les deux équations, nous obtenons :

   $$14x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{14}$$

   En remplaçant x dans la première équation, nous obtenons :

   $$2\left(\frac{23}{14}\right) + 3y = 8$$

   Ce qui donne :

   $$3y = 8 – \frac{46}{14} = \frac{16}{14} \Rightarrow y = \frac{8}{7}$$

   Ainsi, la solution du système est x = 23/14 et y = 8/7.

2. Exemple 2 : Résoudre l’équation 3x – 2y = 7 en supposant que x = 2.

   En substituant x = 2 dans l’équation, nous obtenons :

   $$3 \times 2 – 2y = 7 \Rightarrow 6 – 2y = 7 \Rightarrow -2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$$

   Ainsi, la solution de l’équation est x = 2 et y = -1/2.

3. Exemple 3 : Résoudre l’équation 5x + 4y = 12 en supposant que y = 1.

   En substituant y = 1 dans l’équation, nous obtenons :

   $$5x + 4 \times 1 = 12 \Rightarrow 5x + 4 = 12 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$$

   Donc, la solution de l’équation est x = 8/5 et y = 1.

Ces exemples illustrent différentes façons de résoudre des équations linéaires à deux inconnues en utilisant des méthodes de substitution et d’élimination.

Les équations linéaires à deux inconnues peuvent être résolues de plusieurs façons, notamment par substitution, par élimination ou par la méthode graphique.

1. Méthode de substitution : Cette méthode consiste à isoler l’une des variables dans l’une des équations, puis à substituer cette expression dans l’autre équation. Par exemple, pour résoudre le système d’équations suivant :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x – y = 5 \end{cases}$$

   On peut isoler y dans la deuxième équation :

   $$y = 4x – 5$$

   Puis substituer cette expression dans la première équation :

   $$2x + 3(4x – 5) = 8$$

   Ce qui donne une équation en une seule variable que l’on peut résoudre pour trouver la valeur de x, puis utiliser cette valeur pour trouver celle de y.

2. Méthode d’élimination : Cette méthode consiste à ajouter ou soustraire les équations entre elles de manière à éliminer l’une des variables. Par exemple, pour résoudre le système d’équations suivant :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x – y = 5 \end{cases}$$

   On peut multiplier la deuxième équation par 3 pour éliminer y :

   $$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 12x – 3y = 15 \end{cases}$$

   En ajoutant les deux équations, on obtient une nouvelle équation en une seule variable que l’on peut résoudre pour trouver la valeur de x, puis utiliser cette valeur pour trouver celle de y.

3. Méthode graphique : Cette méthode consiste à représenter graphiquement les deux équations sur un même graphique cartésien. Les solutions du système d’équations correspondent aux points d’intersection des deux droites. Si les droites sont parallèles, le système n’a pas de solution. Si les droites sont confondues, le système a une infinité de solutions.

Ces méthodes sont utilisées pour résoudre efficacement les équations linéaires à deux inconnues et trouver les valeurs des variables qui satisfont simultanément les deux équations.