Résolution d’équations linéaires

Pour résoudre une équation du premier degré, nous devons trouver la valeur de la variable qui la rend vraie. Une équation du premier degré est une équation algébrique qui ne contient qu’une seule variable élevée à la puissance 1, par exemple : $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des constantes et $x$ est la variable. La solution de cette équation est la valeur de $x$ qui la satisfait.

La méthode la plus courante pour résoudre une équation linéaire consiste à isoler la variable $x$ d’un côté de l’équation. Voici les étapes générales pour résoudre une équation du premier degré :

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1. Isoler la variable : Regroupez tous les termes contenant la variable d’un côté de l’équation en utilisant les opérations inverses.
2. Simplifier : Simplifiez l’expression de chaque côté de l’équation autant que possible.
3. Résoudre : Trouvez la valeur de la variable qui rend l’équation vraie.
4. Vérification : Vérifiez la solution en substituant sa valeur dans l’équation originale pour vous assurer qu’elle est correcte.

Par exemple, pour résoudre l’équation $2x – 5 = 3$, nous suivons ces étapes :

1. Isoler la variable : Ajoutez 5 des deux côtés pour obtenir $2x = 8$.
2. Simplifier : Divisez par 2 des deux côtés pour obtenir $x = 4$.
3. Vérification : Remplacez $x$ par 4 dans l’équation originale : $2 \times 4 – 5 = 3$, ce qui est vrai.

La solution de cette équation est $x = 4$.

Pour résoudre une équation linéaire, nous utilisons différentes méthodes en fonction de sa complexité et de sa forme. Voici quelques méthodes couramment utilisées :

1. Méthode de la soustraction : Pour les équations simples comme $ax + b = c$, où $a$, $b$, et $c$ sont des nombres réels et $a$ n’est pas égal à zéro, on peut isoler $x$ en soustrayant $b$ des deux côtés de l’équation, puis en divisant par $a$.

   Exemple : Pour résoudre $2x + 3 = 7$, on soustrait 3 des deux côtés pour obtenir $2x = 4$, puis on divise par 2 pour obtenir $x = 2$.

2. Méthode de la multiplication : Pour les équations où la variable apparaît dans des termes multiples, on peut utiliser la multiplication pour isoler la variable.

   Exemple : Pour résoudre $3x – 4 = 5$, on ajoute 4 des deux côtés pour obtenir $3x = 9$, puis on divise par 3 pour obtenir $x = 3$.

3. Élimination des termes : Pour les systèmes d’équations linéaires (plusieurs équations avec plusieurs variables), on peut utiliser la méthode d’élimination pour éliminer une variable en additionnant ou en soustrayant les équations entre elles.

   Exemple : Pour résoudre le système $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x – y = 5 \end{cases}$, on peut multiplier la deuxième équation par 3 et l’ajouter à la première pour éliminer $y$, puis résoudre pour $x$ et $y$.

4. Méthode de substitution : Pour les systèmes d’équations où une variable est déjà isolée, on peut substituer cette expression dans l’autre équation pour résoudre le système.

   Exemple : Pour résoudre le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – 2y = -1 \end{cases}$, on peut isoler $y$ dans la première équation pour obtenir $y = 5 – 2x$, puis substituer cette expression dans la deuxième équation pour résoudre pour $x$.

Ces méthodes peuvent être combinées et adaptées en fonction de la nature spécifique de l’équation ou du système d’équations à résoudre.