Lois trigonométriques: Sinus et Cosinus

Le « qānūn al-jayb » (قانون الجيب) est une expression arabe qui se traduit littéralement par « loi du gousset ». Ce terme fait référence à une propriété trigonométrique essentielle en géométrie et en trigonométrie, également connue sous le nom de « loi des sinus ». Cette loi établit une relation entre les longueurs des côtés d’un triangle et les sinus de ses angles.

Plus précisément, le qānūn al-jayb stipule que dans tout triangle, le rapport entre la longueur d’un côté et le sinus de l’angle opposé à ce côté est constant pour tous les côtés et angles du triangle. Autrement dit, si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle, et A, B et C sont les mesures de ses angles opposés respectifs, alors :

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$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

Cette relation est très utile pour résoudre des triangles, c’est-à-dire déterminer les longueurs des côtés et les mesures des angles d’un triangle à partir de certaines données. Elle est également utilisée dans divers domaines, tels que la navigation maritime, l’ingénierie et la physique.

En ce qui concerne le « qānūn jayb at-tamām » (قانون جيب التمام), il s’agit d’un concept similaire à la loi du gousset, mais qui s’applique aux angles complémentaires d’un triangle. En d’autres termes, si A, B et C sont les angles d’un triangle, alors :

$\sin(A) = \cos(B)$
$\sin(B) = \cos(A)$
$\sin(C) = \cos(C)$

Cette relation est particulièrement utile pour simplifier les calculs trigonométriques impliquant des angles complémentaires. Elle découle directement de la définition des fonctions trigonométriques et est souvent utilisée pour simplifier les expressions trigonométriques complexes.

Le « qānūn al-jayb » (قانون الجيب), ou loi des sinus, est un concept fondamental en trigonométrie qui établit une relation entre les longueurs des côtés et les sinus des angles d’un triangle. Cette loi est basée sur la proportionnalité des côtés d’un triangle et des sinus de ses angles. Elle est souvent utilisée pour résoudre des triangles, c’est-à-dire trouver les longueurs des côtés et les mesures des angles d’un triangle à partir de données partielles.

La forme la plus courante de la loi des sinus est :

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

où a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle opposés aux angles A, B et C respectivement. Cette relation peut être réarrangée de différentes manières pour résoudre divers problèmes trigonométriques impliquant des triangles.

Quant au « qānūn jayb at-tamām » (قانون جيب التمام), ou loi des cosinus, il établit une relation similaire entre les longueurs des côtés et les cosinus des angles d’un triangle. Cette loi est utile pour résoudre des triangles lorsque les longueurs des côtés sont connues mais pas nécessairement les angles.

La forme la plus courante de la loi des cosinus est :

$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)$

où a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et C est l’angle opposé au côté de longueur c. Cette relation peut également être réarrangée de différentes manières pour résoudre divers problèmes trigonométriques impliquant des triangles.

En résumé, le « qānūn al-jayb » (قانون الجيب) ou loi des sinus, et le « qānūn jayb at-tamām » (قانون جيب التمام) ou loi des cosinus, sont des outils importants en trigonométrie pour résoudre des triangles et effectuer des calculs trigonométriques avancés.