Loi du Double Angle

Le « qanoun dha’f al-zawya », également connu sous le nom de « loi du double angle », est un concept important en trigonométrie. Cette loi permet de trouver les valeurs des fonctions trigonométriques des angles doubles à partir des valeurs des fonctions des angles simples.

Pour les angles aigus, cette loi peut être exprimée comme suit :

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1. Sinus du double angle : $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
2. Cosinus du double angle : $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)$
3. Tangente du double angle : $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}$

Ces formules sont très utiles pour simplifier les expressions trigonométriques et résoudre des problèmes impliquant des angles doubles. Par exemple, si vous connaissez le sinus ou le cosinus d’un angle, vous pouvez utiliser ces formules pour trouver le sinus, le cosinus ou la tangente de son double.

Il est également possible d’exprimer les fonctions trigonométriques des angles doubles en fonction des fonctions trigonométriques des angles simples en utilisant des identités trigonométriques, telles que les formules d’addition. Ces relations sont essentielles en mathématiques, en particulier en trigonométrie, en analyse et en géométrie.

La loi du double angle est une extension des formules d’addition en trigonométrie. Elle est utilisée pour simplifier les expressions trigonométriques complexes et résoudre des problèmes impliquant des angles doubles.

1. Sinus du double angle : $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$

   • Cette formule montre que le sinus de l’angle double est égal au double du produit du sinus et du cosinus de l’angle original.

2. Cosinus du double angle : $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)$

   • Cette formule exprime le cosinus de l’angle double en fonction du cosinus et du sinus de l’angle original.

3. Tangente du double angle : $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}$

   • Cette formule donne la tangente de l’angle double en fonction de la tangente de l’angle original.

En utilisant ces formules, il est possible de simplifier des expressions trigonométriques, de trouver des valeurs exactes de fonctions trigonométriques pour des angles particuliers et de résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles doubles.

Par exemple, si vous avez besoin de calculer $\sin(120^\circ)$, vous pouvez utiliser la formule du double angle pour le sinus :
$\sin(120^\circ) = \sin(2 \times 60^\circ) = 2 \sin(60^\circ) \cos(60^\circ)$

En utilisant les valeurs exactes pour $\sin(60^\circ)$ et $\cos(60^\circ)$ (qui sont $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\frac{1}{2}$ respectivement), vous pouvez calculer $\sin(120^\circ)$.