Loi du Cosinus

Le théorème de Pythagore, également connu sous le nom de loi du cosinus pour un triangle rectangle, est une relation fondamentale en géométrie euclidienne entre les trois côtés d’un triangle rectangle. Plus formellement, pour un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts (les cathètes) est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse.

En mathématiques, le théorème de Pythagore est une relation fondamentale entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il est nommé d’après le mathématicien grec Pythagore, bien que des preuves plus anciennes puissent être trouvées dans les mathématiques babyloniennes et indiennes.

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La loi du cosinus est une extension du théorème de Pythagore à tous les triangles, pas seulement aux triangles rectangles. Elle établit une relation entre les longueurs de tous les côtés d’un triangle et les cosinus de ses angles. En particulier, pour un triangle quelconque avec des côtés de longueurs a, b et c, et des angles opposés respectifs A, B et C, la loi du cosinus est donnée par :

$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C)$

Cette loi est utile pour calculer les longueurs de côtés ou les mesures d’angles d’un triangle quelconque lorsque les longueurs des trois côtés sont connues ou lorsque deux côtés et l’angle compris sont connus.

Le théorème de Pythagore est l’un des concepts les plus fondamentaux en géométrie, particulièrement pour les triangles rectangles. Il établit une relation simple entre les longueurs des côtés d’un tel triangle, qui est souvent illustrée par la formule suivante :

$c^2 = a^2 + b^2$

où $a$ et $b$ sont les longueurs des deux côtés perpendiculaires (les cathètes) et $c$ est la longueur de l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit.

Ce théorème est non seulement important en lui-même, mais il est également à la base de nombreuses autres notions en mathématiques, en particulier en trigonométrie. Par exemple, en utilisant le théorème de Pythagore, on peut dériver les fonctions trigonométriques fondamentales pour un angle aigu $θ$ dans un triangle rectangle :

$\sin(θ) = \frac{opposé}{hypoténuse} = \frac{a}{c}$
$\cos(θ) = \frac{adjacent}{hypoténuse} = \frac{b}{c}$
$\tan(θ) = \frac{opposé}{adjacent} = \frac{a}{b}$

La loi du cosinus, une généralisation du théorème de Pythagore, est utilisée pour trouver les longueurs des côtés ou les mesures des angles d’un triangle quelconque. Cette loi est particulièrement utile lorsque vous connaissez les longueurs de tous les côtés d’un triangle ou lorsque vous connaissez deux côtés et l’angle entre eux. La loi du cosinus peut être exprimée comme suit pour un triangle quelconque avec des côtés de longueurs $a$, $b$, et $c$, et des angles opposés respectivement $A$, $B$, et $C$:

$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C)$

Cette relation montre comment la longueur du troisième côté d’un triangle quelconque est affectée par les longueurs des deux autres côtés et l’angle entre eux.