Le « qānūn al-jayb » est une expression arabe qui se traduit littéralement par « loi de la poitrine ». En mathématiques, cette expression fait référence à la loi des sinus, qui est utilisée pour résoudre les triangles quelconques (c’est-à-dire les triangles qui n’ont pas tous leurs côtés et angles égaux).
La loi des sinus s’énonce comme suit : dans un triangle quelconque, le rapport entre la longueur d’un côté et le sinus de l’angle opposé est constant pour tous les côtés et les angles du triangle. Plus précisément, si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle, et A, B et C sont les mesures des angles opposés respectivement, alors :
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Cette loi est utile pour résoudre un triangle lorsque l’on connaît :
- Deux côtés et un angle opposé à l’un des côtés (ou deux angles et un côté),
- Deux angles et un côté non inclus entre les angles.
En utilisant la loi des sinus, on peut trouver les longueurs des côtés et les mesures des angles d’un triangle quelconque, ce qui est très utile en géométrie et en trigonométrie.
Plus de connaissances
La loi des sinus, également connue sous le nom de « qānūn al-jayb », est une méthode fondamentale en trigonométrie utilisée pour résoudre les triangles quelconques. Elle est basée sur la relation entre les longueurs des côtés d’un triangle et les sinus de ses angles. Cette relation permet de déterminer la longueur d’un côté ou la mesure d’un angle d’un triangle à partir des longueurs des autres côtés et des mesures des autres angles.
La loi des sinus peut être formulée de différentes manières, en fonction de ce que l’on cherche à déterminer dans le triangle. Voici les formules principales de la loi des sinus :
- Si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle et A, B et C sont les mesures des angles opposés respectivement, alors :
- En utilisant la première formule, on peut également écrire les relations suivantes :
- Enfin, on peut également exprimer la loi des sinus sous la forme suivante :
où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle (le cercle passant par les trois sommets du triangle). Cette formulation est utile pour résoudre des triangles lorsque le rayon du cercle circonscrit est connu.
La loi des sinus est très utile en trigonométrie et en géométrie, car elle permet de résoudre efficacement des triangles quelconques sans avoir besoin de connaître tous leurs côtés et angles. Elle est souvent utilisée dans divers domaines tels que la navigation, la cartographie, l’astronomie et d’autres sciences où la trigonométrie est appliquée.
