Loi des Mailles de Kirchhoff

Le deuxième principe de Kirchhoff, souvent appelé loi des tensions de Kirchhoff ou Loi des mailles de Kirchhoff (LMK), est fondamental en électrotechnique et en physique des circuits électriques. Énoncé pour la première fois par le physicien allemand Gustav Kirchhoff en 1845, ce principe est essentiel pour l’analyse des circuits électriques, notamment ceux composés de plusieurs éléments et branches. Le deuxième principe de Kirchhoff se distingue par son application spécifique aux boucles ou mailles d’un circuit électrique, permettant ainsi une compréhension approfondie des interactions électriques dans les circuits complexes.

Énoncé du Principe

La loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (ou tensions) dans une boucle fermée d’un circuit électrique est égale à zéro. En d’autres termes, pour une boucle fermée donnée, la somme des tensions générées par les sources de tension est égale à la somme des tensions chutées à travers les éléments résistifs ou réactifs de cette boucle. Cette loi repose sur le principe de conservation de l’énergie dans un circuit électrique, affirmant que l’énergie fournie par les sources doit être égale à l’énergie consommée par les autres composants du circuit.

Formulation Mathématique

Matériellement, la loi des mailles peut être formulée comme suit :

$\sum_{k=1}^{n} V_k = 0$

où $V_k$ représente les tensions (ou les différences de potentiel) dans les éléments constituant la boucle. Cette équation peut également être écrite en tenant compte des polarités et de la direction de circulation du courant :

$\sum_{i=1}^{n} V_{source,i} – \sum_{j=1}^{m} V_{resistance,j} = 0$

où $V_{source,i}$ est la tension fournie par les sources d’énergie (comme les batteries ou les générateurs) et $V_{resistance,j}$ est la tension perdue à travers les résistances ou autres éléments passifs de la boucle.

Application Pratique

Pour appliquer la loi des mailles de Kirchhoff, suivez les étapes suivantes :

1. Identification des Boucles : Choisissez une boucle fermée dans le circuit. Une boucle est une série de composants connectés en série qui forment un chemin fermé.

2. Détermination des Tensions : Identifiez les sources de tension et les éléments résistifs ou réactifs présents dans la boucle. Notez leurs valeurs et polarités respectives.

3. Application de la Loi : Écrivez une équation en utilisant la loi des mailles en additionnant les tensions des sources et en soustrayant les tensions chutées dans les autres éléments de la boucle.

4. Résolution de l’Équation : Résolvez l’équation obtenue pour déterminer les courants, les tensions ou les résistances inconnus dans le circuit.

Exemple Illustratif

Considérons un circuit simple comportant une batterie de 12 V et deux résistances de 4 Ω et 6 Ω en série. Nous voulons déterminer la tension à travers chaque résistance.

1. Identification de la Boucle : La boucle est formée par la batterie et les deux résistances en série.

2. Détermination des Tensions :

   • Source de tension : 12 V
   • Résistances : 4 Ω et 6 Ω

3. Application de la Loi : En suivant la loi des mailles, nous avons :

$V_{batterie} – (V_{R1} + V_{R2}) = 0$

où $V_{R1}$ et $V_{R2}$ sont les tensions aux bornes des résistances respectives. En utilisant la loi d’Ohm (V = IR), les tensions sont :

$V_{R1} = I \times 4 \, \Omega$
$V_{R2} = I \times 6 \, \Omega$

4. Résolution : La somme des tensions dans la boucle est :

$12 \, V – (I \times 4 \, \Omega + I \times 6 \, \Omega) = 0$
$12 \, V = I \times 10 \, \Omega$
$I = \frac{12 \, V}{10 \, \Omega} = 1.2 \, A$

Les tensions aux bornes de chaque résistance sont donc :

$V_{R1} = 1.2 \, A \times 4 \, \Omega = 4.8 \, V$
$V_{R2} = 1.2 \, A \times 6 \, \Omega = 7.2 \, V$

Importance et Applications

La loi des mailles de Kirchhoff est un outil indispensable pour les ingénieurs et les techniciens travaillant dans le domaine de l’électronique et de l’électrotechnique. Elle est utilisée pour :

• Analyser des Circuits Complexes : En combinant la loi des mailles avec la loi des courants de Kirchhoff (premier principe de Kirchhoff), il est possible de résoudre des circuits électriques plus complexes comportant plusieurs boucles et nœuds.

• Conception et Dépannage : Lors de la conception de circuits électroniques, cette loi permet de s’assurer que les tensions sont correctement équilibrées. En cas de panne, elle aide à localiser les problèmes liés aux tensions ou aux connexions défectueuses.

• Applications en Énergie et Électronique : Elle est appliquée dans les systèmes de distribution d’énergie, les circuits intégrés, les dispositifs électroniques grand public et bien d’autres domaines.

Conclusion

Le deuxième principe de Kirchhoff est une loi fondamentale qui permet de garantir la conservation de l’énergie dans les circuits électriques. Son application rigoureuse dans l’analyse des boucles de circuits assure la précision et la fiabilité des systèmes électriques modernes. En combinant cette loi avec d’autres principes de l’électrotechnique, il est possible d’obtenir une compréhension complète des circuits électriques et de concevoir des systèmes complexes répondant aux exigences technologiques contemporaines.