Exercices sur les fonctions logarithmiques

Les logarithmes sont une partie essentielle de l’analyse mathématique et de l’algèbre, et ils apparaissent fréquemment dans divers domaines des sciences et de l’ingénierie. Une fonction logarithmique est une fonction qui inverse la fonction exponentielle. Par conséquent, comprendre les logarithmes et comment manipuler les expressions logarithmiques est crucial pour les étudiants en mathématiques et les scientifiques. Cet article présente les concepts de base des fonctions logarithmiques, suivis de divers exercices et leurs solutions détaillées.

1. Concepts de Base de la Fonction Logarithmique

Une fonction logarithmique est définie comme l’inverse de la fonction exponentielle. Pour un nombre réel positif $x$ et une base $a$ (où $a > 0$ et $a \neq 1$), le logarithme de $x$ en base $a$ est noté $\log_a(x)$ et défini par :

$$\log_a(x) = y \iff a^y = x$$

Les propriétés fondamentales des logarithmes comprennent :

1. Logarithme d’un produit : $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
2. Logarithme d’un quotient : $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) – \log_a(y)$
3. Logarithme d’une puissance : $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$
4. Changement de base : $\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$, où $b$ est une autre base.

2. Exemples de Fonctions Logarithmiques

Avant de plonger dans les exercices, voyons quelques exemples de fonctions logarithmiques pour comprendre leur comportement :

• $f(x) = \log_2(x)$ : Une fonction logarithmique en base 2.
• $g(x) = \ln(x)$ : Une fonction logarithmique naturelle, où la base est $e$ (environ 2,718).
• $h(x) = \log_{10}(x)$ : Une fonction logarithmique commune avec la base 10, souvent notée simplement $\log(x)$.

3. Exercices sur les Fonctions Logarithmiques

Exercice 1 : Calcul de Logarithmes Simples

Question : Calculez les valeurs suivantes :

a) $\log_2(8)$

b) $\log_{10}(1000)$

c) $\ln(e^3)$

Solution :

a) $\log_2(8) = 3$, car $2^3 = 8$.

b) $\log_{10}(1000) = 3$, car $10^3 = 1000$.

c) $\ln(e^3) = 3$, car $\ln(e^3) = 3 \cdot \ln(e) = 3 \cdot 1 = 3$.

Exercice 2 : Utilisation des Propriétés des Logarithmes

Question : Simplifiez les expressions logarithmiques suivantes :

a) $\log_5(25) + \log_5(4)$

b) $\log_3(81) – \log_3(9)$

c) $2\log_7(x) – \log_7(x^3)$

Solution :

a) $\log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(25 \cdot 4) = \log_5(100)$. Puisque $100 = 5^2$, on obtient $\log_5(100) = 2$.

b) $\log_3(81) – \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(9)$. Puisque $9 = 3^2$, on a $\log_3(9) = 2$.

c) $2\log_7(x) – \log_7(x^3) = \log_7(x^2) – \log_7(x^3) = \log_7\left(\frac{x^2}{x^3}\right) = \log_7\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_7(x)$.

Exercice 3 : Résolution d’Équations Logarithmiques

Question : Résolvez les équations suivantes pour $x$ :

a) $\log_2(x) = 5$

b) $\log_3(x – 2) = 4$

c) $\ln(x^2 – 1) = 0$

Solution :

a) $\log_2(x) = 5 \implies x = 2^5 = 32$.

b) $\log_3(x – 2) = 4 \implies x – 2 = 3^4 = 81 \implies x = 83$.

c) $\ln(x^2 – 1) = 0 \implies x^2 – 1 = e^0 = 1 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$.

Exercice 4 : Logarithmes et Fonctions Exponentielles

Question : Résolvez pour $x$ les équations suivantes qui mélangent des fonctions logarithmiques et exponentielles :

a) $2^x = 10$

b) $e^{3x} = 7$

c) $\log(x) + \log(x+3) = 1$

Solution :

a) $2^x = 10 \implies x = \log_2(10)$. En utilisant la formule de changement de base, $x = \frac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)} = \frac{1}{0.301} \approx 3.32$.

b) $e^{3x} = 7 \implies 3x = \ln(7) \implies x = \frac{\ln(7)}{3} \approx 0.66$.

c) $\log(x) + \log(x+3) = 1 \implies \log(x(x+3)) = 1 \implies x(x+3) = 10 \implies x^2 + 3x – 10 = 0$. Résolution de cette équation quadratique : $x = 2$ ou $x = -5$. Comme $x > 0$ pour les logarithmes, la solution est $x = 2$.

4. Exercices Supplémentaires et Applications Pratiques

Les logarithmes apparaissent dans de nombreux contextes pratiques, notamment dans les modèles de croissance exponentielle et les lois de décroissance, comme la demi-vie des substances radioactives ou la croissance démographique. Pour des exercices plus avancés, envisagez des scénarios tels que :

• Calcul de la valeur future d’un investissement à intérêt composé en utilisant la formule logarithmique.
• Résolution d’équations différentielles logarithmiques.
• Application des logarithmes dans l’analyse des signaux ou le traitement du son, où les décibels sont définis en termes de logarithmes.

5. Conclusion

Les fonctions logarithmiques sont des outils mathématiques puissants avec de nombreuses applications dans la science, l’ingénierie, la finance, et même les sciences sociales. La compréhension et la maîtrise des manipulations de logarithmes sont essentielles pour quiconque souhaite approfondir ses connaissances en mathématiques et sciences appliquées. Les exercices et exemples présentés dans cet article devraient offrir une base solide pour explorer davantage les nombreuses utilisations des logarithmes dans le monde réel.