Exercices Pratiques sur l’Intérêt Composé

Les Exercices Résolus sur les Intérêts Composés

L’intérêt composé est un concept financier fondamental utilisé pour calculer les intérêts accumulés sur un capital initial lorsque les intérêts eux-mêmes génèrent des intérêts. Ce mécanisme est particulièrement pertinent dans les domaines de la finance, de l’économie et de la gestion des investissements. L’intérêt composé est souvent utilisé dans les calculs liés aux comptes d’épargne, aux prêts, et aux investissements. Pour maîtriser ce concept, il est utile de travailler sur des exercices pratiques. Voici un article détaillé comprenant plusieurs exemples d’exercices résolus sur l’intérêt composé.

1. Notions de Base

Avant d’aborder les exercices, il est essentiel de comprendre la formule de base de l’intérêt composé :

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

où :

• $A$ est le montant total accumulé après $t$ années, incluant les intérêts.
• $P$ est le principal ou le montant initial investi.
• $r$ est le taux d’intérêt annuel en pourcentage (exprimé sous forme décimale).
• $n$ est le nombre de fois que les intérêts sont composés par an.
• $t$ est le nombre d’années.

2. Exercice 1 : Calcul de l’Accru après une Période Donnée

Énoncé :

Vous investissez 1 000 € dans un compte d’épargne offrant un taux d’intérêt annuel de 5 %, composé semestriellement. Quel sera le montant total accumulé après 3 ans ?

Solution :

1. Identifiez les valeurs :

   • $P = 1000$ €
   • $r = 0,05$ (5 % en forme décimale)
   • $n = 2$ (les intérêts sont composés semestriellement)
   • $t = 3$ ans

2. Appliquez la formule :
   $A = 1000 \left(1 + \frac{0,05}{2}\right)^{2 \times 3}$
   $A = 1000 \left(1 + 0,025\right)^{6}$
   $A = 1000 \left(1,025\right)^{6}$

3. Calculez :
   $1,025^{6} \approx 1,1596$
   $A \approx 1000 \times 1,1596$
   $A \approx 1159,60$

Après 3 ans, le montant total accumulé sera d’environ 1159,60 €.

3. Exercice 2 : Calcul du Temps Nécessaire pour Accumuler une Somme Donnée

Énoncé :

Vous souhaitez accumuler 2 500 € dans un compte d’épargne avec un taux d’intérêt annuel de 4 %, composé annuellement. Combien de temps faudra-t-il pour atteindre ce montant si vous investissez 1 800 € initialement ?

Solution :

1. Identifiez les valeurs :

   • $P = 1800$ €
   • $A = 2500$ €
   • $r = 0,04$
   • $n = 1$ (les intérêts sont composés annuellement)

2. Utilisez la formule pour résoudre le temps $t$. La formule devient :
   $2500 = 1800 \left(1 + \frac{0,04}{1}\right)^{t}$
   $2500 = 1800 \left(1,04\right)^{t}$

3. Divisez les deux côtés par 1800 :
   $\frac{2500}{1800} = \left(1,04\right)^{t}$
   $1,3889 = \left(1,04\right)^{t}$

4. Utilisez le logarithme pour résoudre $t$ :
   $\log(1,3889) = t \cdot \log(1,04)$
   $t = \frac{\log(1,3889)}{\log(1,04)}$
   $t \approx \frac{0,1430}{0,0170}$
   $t \approx 8,41$

Il faudra environ 8,41 années pour accumuler 2 500 € à un taux d’intérêt de 4 %.

4. Exercice 3 : Calcul du Taux d’Intérêt

Énoncé :

Vous avez investi 5 000 € dans un compte offrant un taux d’intérêt composé trimestriellement et vous souhaitez que votre investissement atteigne 6 500 € en 4 ans. Quel est le taux d’intérêt annuel ?

Solution :

1. Identifiez les valeurs :

   • $P = 5000$ €
   • $A = 6500$ €
   • $t = 4$ ans
   • $n = 4$ (les intérêts sont composés trimestriellement)

2. Utilisez la formule pour résoudre le taux d’intérêt $r$. La formule devient :
   $6500 = 5000 \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4 \times 4}$
   $6500 = 5000 \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{16}$

3. Divisez les deux côtés par 5000 :
   $\frac{6500}{5000} = \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{16}$
   $1,3 = \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{16}$

4. Utilisez le logarithme pour résoudre $r$ :
   $\log(1,3) = 16 \cdot \log\left(1 + \frac{r}{4}\right)$
   $\frac{\log(1,3)}{16} = \log\left(1 + \frac{r}{4}\right)$
   $1 + \frac{r}{4} = 10^{\frac{\log(1,3)}{16}}$
   $1 + \frac{r}{4} \approx 1,0177$
   $\frac{r}{4} \approx 0,0177$
   $r \approx 0,0708$

Le taux d’intérêt annuel est d’environ 7,08 %.

5. Exercice 4 : Calcul de l’Intérêt Gagné

Énoncé :

Vous investissez 2 000 € dans un compte avec un taux d’intérêt composé annuel de 6 %. Combien d’intérêts aurez-vous gagné après 5 ans ?

Solution :

1. Identifiez les valeurs :

   • $P = 2000$ €
   • $r = 0,06$
   • $n = 1$
   • $t = 5$ ans

2. Calculez le montant total accumulé après 5 ans :
   $A = 2000 \left(1 + \frac{0,06}{1}\right)^{5}$
   $A = 2000 \left(1,06\right)^{5}$
   $A \approx 2000 \times 1,3382$
   $A \approx 2676,40$

3. Calculez l’intérêt gagné :
   $\text{Intérêt} = A – P$
   $\text{Intérêt} = 2676,40 – 2000$
   $\text{Intérêt} = 676,40$

Vous aurez gagné 676,40 € d’intérêts après 5 ans.

Conclusion

L’intérêt composé est un concept clé dans le domaine de la finance qui permet de calculer les intérêts accumulés sur un investissement où les intérêts sont réinvestis pour générer des intérêts supplémentaires. Les exercices résolus présentés illustrent la manière d’appliquer la formule de l’intérêt composé pour résoudre divers problèmes pratiques, que ce soit pour calculer le montant total accumulé, le temps nécessaire pour atteindre un objectif financier, le taux d’intérêt nécessaire ou l’intérêt gagné. La maîtrise de ces calculs est essentielle pour prendre des décisions éclairées en matière d’investissement et de gestion financière.