Distance Point-Droite : Calcul

Le calcul de la distance entre un point et une droite est une opération fondamentale en géométrie analytique et en algèbre linéaire. Cette mesure est utile dans divers domaines, notamment les mathématiques, la physique et l’ingénierie. Dans cet article, nous examinerons en détail la méthode pour déterminer cette distance, en utilisant des concepts et des formules mathématiques.

Définition et Importance

La distance entre un point $P$ et une droite est la longueur du segment perpendiculaire allant de ce point à la droite. Cette distance est toujours la plus courte entre le point et la droite, et elle est donc perpendiculaire à la droite. Calculer cette distance est crucial dans les problèmes d’optimisation, de modélisation géométrique et dans l’analyse des erreurs en statistiques.

Représentation de la Droite

Considérons une droite dans le plan cartésien, représentée par l’équation générale :

$ax + by + c = 0$

où $a$, $b$, et $c$ sont des constantes, et $(x, y)$ est un point quelconque sur la droite. Cette équation représente toutes les coordonnées $(x, y)$ des points qui se trouvent sur la droite.

Coordonnées du Point

Soit un point $P$ avec des coordonnées $(x_0, y_0)$. Nous cherchons la distance entre ce point et la droite donnée.

Formule de la Distance

La distance $d$ entre le point $P$ et la droite peut être calculée à l’aide de la formule suivante :

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

où :

• $a$, $b$, et $c$ sont les coefficients de l’équation de la droite.
• $(x_0, y_0)$ sont les coordonnées du point.

Démonstration de la Formule

Pour comprendre pourquoi cette formule est correcte, examinons le processus de dérivation :

1. Détermination du vecteur normal :
   Le vecteur normal à la droite est donné par $\mathbf{n} = (a, b)$, car il est perpendiculaire à toute direction sur la droite.

2. Formule du produit scalaire :
   La distance du point à la droite est égale à la longueur du projection du vecteur position du point sur le vecteur normal. La projection d’un vecteur $\mathbf{v}$ sur un vecteur $\mathbf{n}$ est donnée par :

   $$\text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}$$

   où $\mathbf{v} = (x_0, y_0)$ est le vecteur position du point par rapport à l’origine.

3. Application à notre problème :
   Dans ce cas, $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = ax_0 + by_0$, et la norme $\|\mathbf{n}\|$ est $\sqrt{a^2 + b^2}$. La formule de la distance devient donc :

   $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

   Cette expression est obtenue en tenant compte du fait que $c$ dans l’équation de la droite modifie le produit scalaire pour tenir compte du décalage de la droite par rapport à l’origine.

Exemple Pratique

Considérons une droite donnée par l’équation $3x – 4y + 5 = 0$ et un point $P(1, 2)$. Nous voulons trouver la distance entre ce point et la droite.

1. Identification des coefficients :
   Ici, $a = 3$, $b = -4$, et $c = 5$.

2. Application de la formule :

   $$d = \frac{|3 \cdot 1 – 4 \cdot 2 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$
   $$d = \frac{|3 – 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}}$$
   $$d = \frac{|0|}{\sqrt{25}} = \frac{0}{5} = 0$$

   La distance est 0, ce qui signifie que le point $P(1, 2)$ est sur la droite.

Cas Particulier : Droite Perpendiculaire

Si la droite est représentée sous une forme différente, par exemple $y = mx + c$ (forme pente-interception), la procédure pour trouver la distance reste similaire. On transforme l’équation en forme générale $ax + by + c = 0$ en utilisant $a = -m$, $b = 1$, et $c = -c$, puis on applique la formule.

Conclusion

Le calcul de la distance entre un point et une droite est une tâche fondamentale en géométrie analytique qui permet de déterminer la proximité entre un point et une ligne dans le plan. La formule dérivée, $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, est un outil puissant pour diverses applications mathématiques et techniques. Que ce soit pour des problèmes de géométrie, de modélisation ou d’analyse, comprendre et savoir utiliser cette formule est essentiel pour résoudre efficacement des problèmes pratiques.