Distance entre deux points

Le calcul de la distance entre deux points dans un plan cartésien est une opération fondamentale en géométrie et en mathématiques appliquées. Cette mesure est essentielle pour diverses applications, telles que la navigation, la modélisation spatiale, et même dans des contextes informatiques comme le traitement des images. Ce processus est régi par la formule dite de la distance euclidienne, qui trouve son origine dans le théorème de Pythagore.

1. Introduction au concept

La distance entre deux points dans un plan est la longueur du segment de droite qui les relie. Cette notion peut être étendue à des dimensions plus élevées, mais la formule de base est la même dans un espace à deux dimensions. Les coordonnées des points sont généralement exprimées sous la forme de paires de nombres réels.

2. Formule de la distance

Considérons deux points $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$ dans un plan cartésien. La distance $d$ entre ces deux points est donnée par la formule :

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

Cette formule est dérivée du théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés.

3. Démonstration de la formule

Pour démontrer cette formule, considérons un triangle formé par les points $A$ et $B$, et un point $C$ sur l’axe des abscisses, tel que $C(x_2, y_1)$. Ce triangle est un triangle rectangle où :

• Le côté $AC$ est parallèle à l’axe des ordonnées et a une longueur de $|y_2 – y_1|$.
• Le côté $BC$ est parallèle à l’axe des abscisses et a une longueur de $|x_2 – x_1|$.

Selon le théorème de Pythagore, la distance $d$ est donc :

$d^2 = AC^2 + BC^2$

En substituant les longueurs des côtés, on obtient :

$d^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2$

En prenant la racine carrée des deux côtés, la formule de la distance euclidienne est confirmée :

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

4. Application pratique

Cette formule est utilisée dans de nombreux domaines pratiques. Par exemple :

• En cartographie et navigation : Calculer la distance entre deux points géographiques pour déterminer les itinéraires les plus courts.
• En informatique : Mesurer la similarité entre des objets dans des algorithmes de recherche ou de reconnaissance d’images.
• En physique : Déterminer la distance parcourue par un objet en mouvement en utilisant des coordonnées.

5. Extension à des dimensions supérieures

La formule de la distance peut être généralisée à des espaces de dimensions supérieures. Dans un espace à $n$ dimensions, la distance entre deux points $A(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ et $B(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ est :

$d = \sqrt{(x_1 – y_1)^2 + (x_2 – y_2)^2 + \cdots + (x_n – y_n)^2}$

6. Applications avancées

Dans des domaines comme la géométrie computationnelle et l’analyse des données, la distance euclidienne est utilisée pour diverses applications telles que :

• Algorithmes de clustering : Par exemple, dans l’algorithme des k-moyennes, pour regrouper les points de données en fonction de leur proximité.
• Réduction de dimensionnalité : En utilisant la distance pour évaluer la similitude entre les objets dans des espaces réduits.
• Analyse de réseaux sociaux : Pour mesurer la proximité ou la similarité entre les entités dans un réseau.

7. Conclusion

La formule de la distance euclidienne entre deux points dans un plan cartésien est un outil mathématique puissant, essentiel dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. En combinant une base théorique solide avec des applications pratiques variées, elle continue à jouer un rôle crucial dans la compréhension et la manipulation des espaces géométriques et des données multidimensionnelles.