Les conversions entre les différents systèmes de numération sont des transformations d’un nombre d’un système donné en un nombre équivalent dans un autre système. Les systèmes de numération les plus couramment utilisés sont le système décimal, le système binaire, le système octal et le système hexadécimal. Chaque système a sa propre base, c’est-à-dire le nombre de symboles utilisés pour représenter les nombres, ainsi que sa propre méthode de calcul de la valeur d’un nombre en fonction de sa position dans la notation.
1. Système Décimal (Base 10) :
- Utilise les chiffres de 0 à 9.
- La valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre.
- Par exemple, le nombre 456 se lit comme « quatre cent cinquante-six » et équivaut à (4 x 100) + (5 x 10) + (6 x 1).
2. Système Binaire (Base 2) :
- Utilise les chiffres 0 et 1.
- Chaque position dans un nombre binaire représente une puissance de 2.
- Par exemple, le nombre binaire 101 se lit comme « un zéro un » et équivaut à (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) en décimal, soit 5.
3. Système Octal (Base 8) :
- Utilise les chiffres de 0 à 7.
- Chaque position dans un nombre octal représente une puissance de 8.
- Par exemple, le nombre octal 127 se lit comme « un deux sept » et équivaut à (1 x 64) + (2 x 8) + (7 x 1) en décimal, soit 87.
4. Système Hexadécimal (Base 16) :
- Utilise les chiffres de 0 à 9 ainsi que les lettres de A à F pour représenter les valeurs de 10 à 15.
- Chaque position dans un nombre hexadécimal représente une puissance de 16.
- Par exemple, le nombre hexadécimal 2A se lit comme « deux A » et équivaut à (2 x 16) + (10 x 1) en décimal, soit 42.
Pour convertir un nombre d’un système à un autre, il est souvent pratique de passer par le système décimal. Par exemple, pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque chiffre par la puissance de 2 correspondante à sa position et on additionne les résultats. On peut ensuite convertir le nombre décimal obtenu dans le système souhaité en utilisant une méthode similaire.
Plus de connaissances
Pour effectuer des conversions entre les différents systèmes de numération, il est utile de connaître les puissances des bases des systèmes impliqués. Voici un résumé des puissances de 2, 8, et 16 jusqu’à une certaine limite, ainsi que leurs équivalents décimaux :
Puissances de 2 (Binaire) :
- 2^0 = 1
- 2^1 = 2
- 2^2 = 4
- 2^3 = 8
- 2^4 = 16
- 2^5 = 32
- 2^6 = 64
- 2^7 = 128
- 2^8 = 256
- 2^9 = 512
- 2^10 = 1024
- 2^11 = 2048
- 2^12 = 4096
- 2^13 = 8192
- 2^14 = 16384
- 2^15 = 32768
- 2^16 = 65536
- …
Puissances de 8 (Octal) :
- 8^0 = 1
- 8^1 = 8
- 8^2 = 64
- 8^3 = 512
- 8^4 = 4096
- 8^5 = 32768
- …
Puissances de 16 (Hexadécimal) :
- 16^0 = 1
- 16^1 = 16
- 16^2 = 256
- 16^3 = 4096
- 16^4 = 65536
- 16^5 = 1048576
- …
Pour convertir un nombre d’un système à un autre, vous pouvez suivre ces étapes générales :
- Convertissez le nombre initial en décimal.
- Convertissez le nombre décimal obtenu dans le système de destination.
Par exemple, pour convertir le nombre binaire 1010 en hexadécimal :
- Convertissez 1010 en décimal : (1 x 2^3) + (0 x 2^2) + (1 x 2^1) + (0 x 2^0) = 8 + 0 + 2 + 0 = 10.
- Convertissez 10 en hexadécimal : 10 = A en hexadécimal.
Donc, 1010 en binaire est équivalent à A en hexadécimal.
