Coefficient de Spearman expliqué

Le coefficient de corrélation de Spearman, également appelé rho de Spearman ou rang de Spearman, est une mesure statistique utilisée pour évaluer la force et la direction d’une association entre deux variables ordinales. Développé par le statisticien britannique Charles Spearman en 1904, ce coefficient est particulièrement utile lorsque les données ne répondent pas aux exigences de normalité nécessaires pour d’autres types de corrélations, telles que le coefficient de corrélation de Pearson. L’approche de Spearman se base sur les rangs des données plutôt que sur leurs valeurs absolues, ce qui la rend robuste face aux outliers et aux distributions non normales.

Définition et Calcul

Le coefficient de corrélation de Spearman est défini comme la mesure de la relation monotone entre deux variables. Contrairement au coefficient de Pearson, qui évalue les relations linéaires, le coefficient de Spearman peut détecter des relations monotones non linéaires. Voici les étapes pour calculer ce coefficient :

1. Attribuer des rangs :

   • Pour chaque variable, attribuez un rang à chaque observation. Les valeurs les plus faibles reçoivent les rangs les plus bas (1, 2, 3, …). Si plusieurs valeurs sont identiques (ties), attribuez-leur le rang moyen de ces positions.

2. Calculer la différence des rangs :

   • Pour chaque paire d’observations, calculez la différence entre les rangs correspondants des deux variables.

3. Élever les différences au carré :

   • Élevez au carré chaque différence obtenue à l’étape précédente.

4. Sommer les carrés des différences :

   • Additionnez toutes les valeurs obtenues à l’étape précédente pour obtenir la somme des carrés des différences des rangs.

5. Calculer le coefficient de Spearman :

   • Utilisez la formule suivante pour obtenir le coefficient de Spearman (ρ) :
     $$\rho = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 – 1)}$$
     où $d_i$ est la différence entre les rangs pour chaque paire de valeurs, et $n$ est le nombre total d’observations.

Interprétation

Le coefficient de corrélation de Spearman varie entre -1 et 1 :

• ρ = 1 indique une corrélation parfaite positive, ce qui signifie que lorsque les rangs d’une variable augmentent, les rangs de l’autre variable augmentent également de manière parfaitement proportionnelle.
• ρ = -1 indique une corrélation parfaite négative, ce qui signifie que lorsque les rangs d’une variable augmentent, les rangs de l’autre variable diminuent de manière parfaitement proportionnelle.
• ρ = 0 suggère qu’il n’y a pas de corrélation monotone entre les deux variables.

Des valeurs proches de 1 ou -1 indiquent une forte relation monotone, tandis que des valeurs proches de 0 suggèrent une faible ou aucune relation monotone.

Applications

Le coefficient de corrélation de Spearman est utilisé dans diverses applications statistiques et de recherche, notamment :

• Recherche en sciences sociales : Pour examiner les relations entre des variables ordinales telles que les opinions, les classements, ou les niveaux de satisfaction.
• Études psychométriques : Pour évaluer les relations entre les scores de tests ou les mesures de traits psychologiques.
• Analyse des données médicales : Pour étudier les relations entre les classements de sévérité de maladies et les réponses au traitement.

Avantages et Limites

Avantages :

• Robuste face aux outliers : Comme il se base sur les rangs et non sur les valeurs brutes, il est moins sensible aux valeurs extrêmes.
• Pas besoin de distribution normale : Contrairement au coefficient de Pearson, il ne nécessite pas que les données suivent une distribution normale.

Limites :

• Moins informatif pour les relations linéaires : Si les données ont une relation linéaire parfaite, le coefficient de Pearson peut être plus approprié.
• Sensibilité aux ties : Bien que des ajustements puissent être effectués, la présence de nombreux ties (valeurs identiques) peut compliquer l’interprétation des résultats.

Exemple

Pour illustrer le calcul du coefficient de Spearman, considérons les deux ensembles de données suivants :

Variable X	Variable Y
1	5
2	6
3	7
4	8
5	7

Calculons les rangs :

Variable X	Rang X	Variable Y	Rang Y	$d_i$	$d_i^2$
1	1	5	1	0	0
2	2	6	2	0	0
3	3	7	3.5	-0.5	0.25
4	4	8	5	-1	1
5	5	7	3.5	1.5	2.25

Somme des carrés des différences $\sum d_i^2$ = 3.5

Nombre d’observations $n$ = 5

Calcul du coefficient de Spearman :

$$\rho = 1 – \frac{6 \times 3.5}{5 \times (25 – 1)} = 1 – \frac{21}{120} = 1 – 0.175 = 0.825$$

Dans cet exemple, le coefficient de corrélation de Spearman est de 0.825, indiquant une forte corrélation positive monotone entre les deux variables.

Conclusion

Le coefficient de corrélation de Spearman est un outil précieux pour évaluer la relation monotone entre deux variables ordinales. En utilisant les rangs plutôt que les valeurs brutes, il offre une alternative robuste au coefficient de Pearson, notamment lorsqu’on travaille avec des données non paramétriques ou ordinales. Sa simplicité de calcul et son applicabilité dans divers contextes en font un choix courant pour les chercheurs et les analystes de données.