Aire sous une courbe.

Le concept d’intégrale définie, également connu sous le nom de « takamul al-mahdud » (التكامل المحدود) en arabe, est une notion fondamentale en mathématiques, en particulier en analyse. Il représente la somme des valeurs d’une fonction sur un intervalle donné. L’intégrale définie est utilisée pour calculer des quantités telles que l’aire sous une courbe, le volume de solides, ainsi que d’autres applications en physique et en ingénierie.

Formellement, si $f(x)$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, alors l’intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$ est notée $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ et est définie comme suit :

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où $\Delta x_{i} = \frac{b – a}{n}$ est la largeur de chaque sous-intervalle et $x_{i}$ est un point dans le $i$-ème sous-intervalle $[x_{i-1}, x_{i}]$. Lorsque cette limite existe, elle représente l’intégrale définie de $f$ sur l’intervalle $[a, b]$.

L’intégrale définie possède plusieurs propriétés importantes, notamment la linéarité, c’est-à-dire que pour des fonctions $f$ et $g$ continues et des constantes $c$ et $d$, nous avons :

De plus, si $f(x) \geq 0$ sur l’intervalle $[a, b]$, alors l’intégrale $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ représente l’aire située sous la courbe $y = f(x)$ entre les abscisses $x = a$ et $x = b$.

L’intégrale définie a de nombreuses applications pratiques, telles que le calcul de l’aire de surfaces irrégulières, le calcul de volumes de révolutions, et la résolution de problèmes de mouvement en physique à l’aide du concept de travail et d’énergie.

L’intégrale définie est intimement liée au concept d’aire sous une courbe. Lorsque $f(x)$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a, b]$, l’intégrale définie de $f$ sur cet intervalle représente l’aire de la région délimitée par le graphe de $f$, l’axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$.

Plus formellement, si $f(x)$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(x) \geq 0$ pour tout $x$ dans cet intervalle, alors l’aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ est donnée par l’intégrale définie :

Cette aire peut être interprétée comme la somme de l’aire de petites bandes verticales infinitésimales de largeur $dx$ et de hauteur $f(x)$ pour chaque $x$ dans l’intervalle $[a, b]$.

L’intégrale définie est également utilisée pour calculer d’autres grandeurs physiques, telles que les volumes de solides de révolution. Par exemple, si une région entre une courbe $y = f(x)$, l’axe des $x$ et les droites $x = a$ et $x = b$ est tournée autour de l’axe des $x$, le volume du solide obtenu peut être calculé à l’aide de l’intégrale définie.

En résumé, l’intégrale définie est un outil mathématique puissant qui permet de calculer des grandeurs telles que l’aire sous une courbe, le volume de solides, et qui a de nombreuses applications en physique, en ingénierie, en économie et dans d’autres domaines scientifiques.