Comment additionner et soustraire des nombres fractionnaires ?

Les fractions sont un concept fondamental en mathématiques, et leur manipulation, notamment l’addition et la soustraction, est une compétence cruciale dans l’apprentissage des nombres. Les nombres fractionnaires apparaissent dans une variété de contextes pratiques, tels que la mesure, la cuisine, les finances et la résolution de problèmes scientifiques. Cet article détaillera les méthodes pour additionner et soustraire des fractions, en distinguant les cas où les dénominateurs sont identiques ou différents.

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Introduction aux fractions

Une fraction est composée de deux parties essentielles :

• Le numérateur (la partie supérieure) : il représente le nombre de parts considérées.
• Le dénominateur (la partie inférieure) : il indique le nombre total de parts égales dans une unité.

Par exemple, la fraction $\frac{3}{5}$ signifie que l’on prend 3 parts sur un total de 5 parts égales.

Les opérations d’addition et de soustraction de fractions peuvent se compliquer lorsque les dénominateurs diffèrent, mais elles suivent des principes précis et logiques.

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Addition de fractions

1. Cas des fractions ayant le même dénominateur

Lorsque les fractions à additionner ont le même dénominateur, l’opération est simplifiée :
On additionne simplement les numérateurs tout en conservant le dénominateur commun.

Formule générale :

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

Exemple :

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$$

2. Cas des fractions ayant des dénominateurs différents

Lorsque les dénominateurs diffèrent, il est nécessaire de les rendre identiques avant d’additionner les fractions. Cette opération se réalise en suivant plusieurs étapes :

Étapes pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents :

1. Déterminer un dénominateur commun : Le dénominateur commun est souvent le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs initiaux.
2. Convertir les fractions : On multiplie chaque fraction pour obtenir des dénominateurs identiques.
3. Additionner les numérateurs : Une fois les dénominateurs égaux, additionner les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
4. Simplifier la fraction si possible.

Exemple :
Additionner $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{6}$.

• Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
  Les dénominateurs sont $4$ et $6$. Leur PPCM est $12$.

• Étape 2 : Convertir chaque fraction

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$$

• Étape 3 : Additionner les numérateurs

$$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$$

• Étape 4 : Simplifier si nécessaire
  La fraction $\frac{5}{12}$ est déjà simplifiée.

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Soustraction de fractions

La méthode pour soustraire des fractions est similaire à celle de l’addition. Les étapes diffèrent uniquement par le signe entre les numérateurs.

1. Cas des fractions ayant le même dénominateur

Lorsque les fractions possèdent le même dénominateur, on soustrait simplement les numérateurs tout en conservant le dénominateur commun.

Formule générale :

$$\frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$$

Exemple :

$$\frac{5}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8}$$

En simplifiant, on obtient :

$$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

2. Cas des fractions ayant des dénominateurs différents

Pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, les étapes sont identiques à celles de l’addition, à l’exception du signe entre les numérateurs.

Étapes pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents :

1. Trouver un dénominateur commun.
2. Convertir les fractions pour obtenir des dénominateurs égaux.
3. Soustraire les numérateurs.
4. Simplifier la fraction si possible.

Exemple :
Soustraire $\frac{5}{6}$ de $\frac{3}{4}$.

• Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
  Les dénominateurs $6$ et $4$ ont pour PPCM $12$.

• Étape 2 : Convertir chaque fraction

$$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$$

• Étape 3 : Soustraire les numérateurs

$$\frac{10}{12} – \frac{9}{12} = \frac{10-9}{12} = \frac{1}{12}$$

• Étape 4 : Simplifier si nécessaire
  La fraction $\frac{1}{12}$ est déjà simplifiée.

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Addition et soustraction de nombres mixtes

Les nombres mixtes sont composés d’une partie entière et d’une fraction. Pour additionner ou soustraire des nombres mixtes, deux approches peuvent être utilisées :

1. Additionner/Soustraire séparément les parties entières et fractionnaires.
2. Convertir les nombres mixtes en fractions impropres, puis appliquer les règles des fractions ordinaires.

Exemple :
Additionner $2 \frac{1}{3}$ et $1 \frac{2}{5}$.

• Étape 1 : Convertir les nombres mixtes en fractions impropres

$$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad 1 \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$$

• Étape 2 : Trouver un dénominateur commun
  Les dénominateurs $3$ et $5$ ont pour PPCM $15$.

• Étape 3 : Convertir les fractions

$$\frac{7}{3} = \frac{35}{15}, \quad \frac{7}{5} = \frac{21}{15}$$

• Étape 4 : Additionner les fractions

$$\frac{35}{15} + \frac{21}{15} = \frac{56}{15}$$

• Étape 5 : Convertir en nombre mixte

$$\frac{56}{15} = 3 \frac{11}{15}$$

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Conclusion

L’addition et la soustraction des fractions nécessitent une bonne compréhension des dénominateurs communs et des règles de simplification. Qu’elles soient simples, complexes ou impliquant des nombres mixtes, ces opérations sont essentielles dans le raisonnement mathématique et les situations réelles. La maîtrise des fractions permet de résoudre divers problèmes liés aux mesures, proportions et estimations, ce qui en fait une compétence fondamentale dans les mathématiques et les sciences.